¿LAS POMPAS DE JABÓN PUEDEN SER UN OBJETO MATEMÁTICO?
Vemos que sí. ¿Qué son los objetos matemáticos?, ¿cuantos hay?. Iremos contestando poco a poco. Empezaremos por la banda de Möebius.
En ésta animación basada en el dibujo de M.C Escher, podemos apreciar qué es una cinta de Möbius:
La banda o cinta de Moëbius es una superficie de la primera dimensión, con una sola cara y un sólo borde, (o componente de contorno). Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable (Una esfera es orientable, tiene polo norte y polo sur). Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.
Para construirla, se toma una cinta de papel y se pegan los extremos dando media vuelta (se gira 180°) a uno de ellos.
propiedades
- Tiene sólo una cara:
Si se colorea la superficie de una cinta de Möbius, comenzando por la "aparentemente" cara exterior, al final queda coloreada toda la cinta.
- Tiene sólo un borde:
Se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, se ve que se llega al punto de partida habiendo recorrido "ambos bordes", por tanto, sólo tiene un borde.
- Ésta superficie no es orientable:
Una persona que se desliza «tumbada» sobre una banda de Möbius, mirando hacia la derecha, al dar una vuelta completa aparecerá mirando hacia la izquierda. (Recuerda tu imagen en un espejo).
- EXPERIMENTOS. ¿Te atreves a realizarlos?:
Si se corta una cinta de Möbius a lo largo, a diferencia de una cinta normal, no se obtienen dos bandas, sino una banda más larga pero con dos vueltas. Si a ésta banda se la vuelve a cortar a lo largo, se obtienen otras dos bandas entrelazadas pero con vueltas. A medida que se van cortando a lo largo de cada una, se siguen obteniendo más bandas entrelazadas.
¿Se puede colorear con 4-colores?
El teorema de los 4-colores dice que cualquier mapa dibujado sobre un plano o sobre una esfera se puede colorear con un mínimo de 4 colores. Fué un problema planteado por Francis Guthrie, en 1853. Su primera demostración fué en 1976 por Appel y Haken. Pero la banda de Möbius, sólo se puede colorear con 6 colores.
¡Bien!, una vez que os he definido qué es este objecto matemático, os planteo la sigüiente pregunta: ¿creeis que puede existir este objeto en la Naturaleza?.
Os dejo como no una animación sobre el conjunto de Julia, como el de la isla que os he puesto al principio:
http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html
¿CONOCES ÉSTOS OTROS OBJETOS MATEMÁTICOS?
La lemniscata
La lemniscata
Es una lemniscata, un tipo de curva que tiene esta ecuación en coordenadas cartesianas:
Y en coordenadas polares según la siguiente ecuación:
La representación gráfica de esta ecuación genera una curva similar al símbolo infinito.
La lemniscata fue descrita por primera vez en 1694 por Jakob Bernoulli como la modificación de una elipse, curva que se define como el lugar geométrico de los puntos tales que la suma de las distancias desde dos puntos focales es una constante. En contraposición, una lemniscata es el lugar geométrico de los puntos tales que el producto de estas distancias es constante. Bernoulli la llamó lemniscus, que en Latín significa "cinta colgante".
El símbolo del infinito parece una representación de un reloj de arena acostado. El reloj de arena como está acostado le llevará infinito tiempo vaciarse, este es un ejemplo tangible (que se puede tocar) de infinitud (de lo infinito).
La botella de Klein
En topología, una botella de Klein es una superficie no orientable y cerrada que no tiene ni interior ni exterior. Fue pensada por el matemático alemán Christian Felix Klein. Se puede hacer una representación tridimensional de una Botella de Klein introduciendo el extremo delgado de una botella a través de uno de los lados del recipiente y uniéndolo a la base, pero esa representación no es una Botella de Klein de verdad, porque físicamente sólo puede ser realizada en un espacio de cuatro dimensiones, (o en dim > 4), ya que debe pasar a través de sí misma sin la presencia de un agujero, es decir, sin intersectar consigo misma, y para pasar una superficie dentro de otra sin hacerle un agujero necesitamos un espacio de 4-dimensiones, ¿recuerdas donde está la cuarta dimensión?...sí, era donde vive el Tesseract o el hipercubo.
Es homeomorfa (con forma igual a) dos bandas de Möbius pegadas por sus bordes. Su volumen es cero, así que no puede contener nada, y sólo tiene una cara.
Seis colores son suficientes colorear cualquier mapa en la superficie de una botella de Klein.
¿Tienes alguna pregunta sobre este objeto matemático?.
Atractores-Repulsores
Son dos fractales, el de la izquierda se llama atractor de Rösler, y el de la derecha casi es su inversa (lo contrario),es un repulsor. Es decir, el primero atrae como un pozo, y el segundo repele como una fuente.
Un atractor es el conjunto al que el sistema evoluciona después de un tiempo suficientemente largo (algo que se mueve porque pasa el tiempo). Para que el conjunto sea un atractor, las trayectorias deben ser cercanas. Geométricamente, un atractor puede ser un punto, una curva, una variedad (es un objeto geométrico que genraliza las curvas y las superficies a todas las dimensiones) o incluso un conjunto complicado de estructura fractal conocido como “atractor extraño”. La descripción de atractores de sistemas dinámicos caóticos ha sido uno de los grandes logros de la teoría del caos.
La trayectoria del sistema dinámico en el atractor puede ser periódica (que se repite), caótica o de cualquier otro tipo.
Un repulsor es lo contrario a un atractor, en el lenguaje correcto matemático se le dice que es su inversa, o el complementario. Se relaciona con una fuente, porque en lugar de atraer repele, expulsa.
En la naturaleza se estudian los sistemas binarios atractores-repulsores, un ejemplo sería una fuente, porque expulsa el agua pero esta cae de nuevo y se filtra para ser expulsada de nuevo. Otro ejemplo es el ciclo del agua.
Algunos atractores para un sistema dinámico lineal homogéneo (igual). En un sistema lineal de una variable de dos coordenadas (x,y) son sólo posible algunos tipos de conductas, que se pueden dibujar en el llamado espacio de fases que corresponde a una representación de la variación en el tiempo de las coordenadas (x,y), centrado en un punto singular (especial). El punto central corresponde a éste, y los ejes (o variedades) corresponden a las coordenadas. En a) se representa un punto de silla, es inestable donde un eje es convergente (variedad estable) y el otro es divergente (variedad inestable); b) corresponde a un sumidero espiral que se puede asociar a oscilaciones amortiguadas de un sistema; c) corresponde a un nodo, donde las trayectorias convergen a un punto fijo; d) corresponde a centros que se asocian a oscilaciones no amortiguadas y e) representa una fuente, donde todas las trayectorias se alejan del punto de interés.
Espirales
PATRONES QUE EMERGEN DE LAS ESPIRALES
Resulta que si se numera una espiral así, los cuadrados perfectos 1, 4, 9, 16… quedan alineados. Pero, ¿Qué es un número cuadrado perfecto?, es un número cuya raiz cuadrada es un número entero.
Por ejemplo, 9 es un número cuadrado perfecto ya que puede ser escrito como 3 × 3.
El número PHI
Es el número o la secuencia de Fibonacci, que se puede encontrar en la naturaleza, como en la que la flor del girasol, tiene veintiuna espirales que van en una dirección y treinta y cuatro que van en la otra; ambos son números consecutivos de Fibonacci. La parte externa
de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.
de una piña piñonera tiene espirales que van en sentido de las manecillas del reloj y otras que lo hacen en sentido contrario, y la proporción entre el número de unas y otras espirales tiene valores secuenciales de Fibonacci. En las elegantes curvas de una concha de nautilus, cada nueva circunvolución completa cumplirá una proporción de 1: 1,618, si se compara con la distancia desde el centro de la espiral precedente.
Una sucesión de Fibonacci es aquella donde cada número es el resultado de sumar los dos anteriores. Así, la primera y más básica serie de Fibonacci sería:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233...
Las abejas también tienen relación con la serie de Fibonacci: si se observan las celdas hexagonales de una colmena y se coloca a una abeja en una cualquiera de ellas, y se le permite alimentar a la larva, suponiendo que continuará siempre por la celda contigua de la derecha, veremos que hay sólo una ruta posible para la siguiente celdilla; dos hacia la segunda, tres hasta la tercera, cinco hasta la cuarta, ocho rutas posibles hacia la quinta, etcétera. Las abejas macho no tienen padre, pero cada uno tiene 1 madre, 2 abuelos(la madre y el padre de su madre), 3 bisabuelos (ya que el padre de la madre no tiene padre), 5 tatarabuelos, y 8 tataratatarabuelos, y así podríamos seguir en sucessió de Fibonacci.
En la naturaleza también aparece en forma espiral el esquema está detrás. Los objetos matemáticos existen en la naturaleza, pero sólo hemos sido capaz de encontrar unos pocos, simplemente hay que saber que si existen es porque estan ahí fuera, en algún lugar, pues no sé puede pensar en lo que no existe, aunque a veces podemos equivocarnos pensando. Busca tu otras series de Fibonacci, ¿qué tal si empiezas por las flores?
Os dejo unos documentales sobre la Naturaleza fractal:
Fractales
Sería genial poder irnos de vacaciones a una isla fractal, en concreto ésta, la isla de Julia, pero desafortunadamente es un fotomontaje y ésta no existe en la Naturaleza, ¿pero existen otros fractales?.
¿CONOCES ÉSTE FRACTAL EN LA NATURALEZA?
Es el conjunto de Mandelbrot, en realidad es una función que pertenece a los números complejos:
f(z) = z² + c, donde para cada valor de c tenemos una función diferente. Nos da como resultado una sucesión infinita de iteraciones:
0, f(0), f(f(0)), f(f(f(0))),...y ésta función no diverge, no tiende a infinito. En realidad el fractal es lo que tenemos pintado de negro. Pues bien, ¿qué pasaría si llevasemos la función a la tercera dimensión?, tendríamos ésta otra ecuación:
f(z) = z(^3) + c
Y dónde aparece en la Naturaleza, pues en el bismuto, veamos la forma que se asemeja:
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| Investigación y Ciencia, Febrero 2011 |
Os dejo como no una animación sobre el conjunto de Julia, como el de la isla que os he puesto al principio:
Si quereis más información la podeis leer es éste enlace.
http://www.skytopia.com/project/fractal/mandelbulb.html
¿Creeis que existen otros fractales en la Naturaleza?
¿Y TU, TE ATREVES A DIBUJAR TU PROPIO FRACTAL?. RECUERDA PONERLE MUCHO COLOR Y UN NOMBRE ORIGINAL.
LOS SÓLIDOS PLATÓNICOS
Son cinco, y existen en la Naturaleza como muestra la imagen en la que aparece Euclides y no Platón, pues fué él quien demostró que eran sólo cinco sólidos. Son poliedros perfectos, con sus caras iguales, que o son triangulares, cuadradas o pentagonales. ¿Existen en la Naturaleza?, pueden ver que si, por la imagen del principio.Tres de ellos son visibles, son cristalizaciones de la pirita (entre otros minerales), el cubo, el octaedro y el dodecaedro; como tetraedro tenemos moléculas como el metano, y como icosaedros tenemos el virus, como ejemplo el del VIH.
Si quieren más información pueden leerlo en el artículo del Boletín matemático de la Universidad de Almería, (pàgs. 15-16, Los sólidos platónicos en la Naturaleza).
Si quieren más información pueden leerlo en el artículo del Boletín matemático de la Universidad de Almería, (pàgs. 15-16, Los sólidos platónicos en la Naturaleza).
¿Qué otros objetos matemáticos tenemos en la Naturaleza?
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¿CONOCES ÉSTE OBJECTO MATEMÁTICO?
¿Pero en qué quedamos?, ¿de qué estamos hablando?, ¿de una taza o de un donut?.
Y ahora, ¿está más claro?. Seguiremos explicándolo...
Esta entrada está en construcción, en breve seguiremos con ella.
¿CONOCES ÉSTE OBJECTO MATEMÁTICO?
Al intentar averiguar que tipo de objecto matemático es éste, me he encontrado con una sugerencia para desayunar:
Dicen que un topólogo es aquel que es incapaz de diferenciar una taza de un donut, ¡no me estraña!, porque topológicamente son equivalentes. Pero, ¿qué es la topología?, pues no es sencillo contestar a la pregunta pero digamos que es la rama de las matemáticas, la más moderna, que se ocupa de estudiar la lógica del espacio, o eso dice el nombre, ¿aún no?, pues seguimos con la explicación. La topologia dice que las cosas, los objetos, pueden cambiar de forma pero seguir siendo el mismo objeto, así es que estudia los invariantes topológicos, lo que no cambia para averiguar por ejemplo de qué superfície estamos hablando. ¡Vaya lío!, pensareis, pues no tanto ya que todas las superfícies compactas y conexas son homeomorfas (equivalentes, iguales) a tres superfícies modelo, a una esfera, a un plano proyectivo (es como una esfera pero sin orientación, sin polo norte ni sur, como por ejemplo la banda de möbius), o a un toroide (un donut). Ésto se puede complicar un poquito más, pues la superfície modelo puede ser Mg que es la suma conexa de un número finito de toroides, o Nh, la suma conexa de un número finito de planos proyectivos. Veamos un resumen.
Y ahora, ¿está más claro?. Seguiremos explicándolo...
Si quereis divertiros, mientras se construye ésta entrada podeis leer el Topologicon, un cómic que nos habla de qué es la Topología y de qué problemas nos tracta.
Esta entrada está en construcción, en breve seguiremos con ella.
¿PUEDE SER UN LOGO UN OBJETO MATEMÁTICO?
El logo de la asociación High Ability Dimension cuya autora soy yo está inspirado en la Teoría de la Dimensión, que pertenece a la rama de las matemáticas llamada Topologia. Os lo explico.
El logo simplemente es un concepto que va subiendo de dimensión, porque evoluciona, en la dimensión cero es un punto, que emerge; pasamos a la primera dimesión y es una línea, el punto y las dos líneas que se juntan en un mismo vértice configuran la letra A de Ability; sigue evolucionando y ésta vez son tres planos, dos paralelos y uno que los une, aquí tenemos la H, de High; y llegamos con un saltito a la cuarta dimensión, tenemos una representación del hipercubo, donde se marcan algunas de sus aristas para mostrar la letra D, de Dimension, y por lo que sabemos de los poliedros las sombras y las caras de n-poliedra son siempre (n-1), es decir, que las caras y las sombras del hipercubo están en la tercera dimensión, ésta aunque nos la habíamos saltado queda implícita en el hipercubo. Contestando a la pregunta sí, puede ser un logo un objecto matemático. Veamos otros:
El logo simplemente es un concepto que va subiendo de dimensión, porque evoluciona, en la dimensión cero es un punto, que emerge; pasamos a la primera dimesión y es una línea, el punto y las dos líneas que se juntan en un mismo vértice configuran la letra A de Ability; sigue evolucionando y ésta vez son tres planos, dos paralelos y uno que los une, aquí tenemos la H, de High; y llegamos con un saltito a la cuarta dimensión, tenemos una representación del hipercubo, donde se marcan algunas de sus aristas para mostrar la letra D, de Dimension, y por lo que sabemos de los poliedros las sombras y las caras de n-poliedra son siempre (n-1), es decir, que las caras y las sombras del hipercubo están en la tercera dimensión, ésta aunque nos la habíamos saltado queda implícita en el hipercubo. Contestando a la pregunta sí, puede ser un logo un objecto matemático. Veamos otros:
